15.抽象语言

M:语义学悖论要靠引进抽象语言来解决。关于世界的种种论述,如“苹果是红的”或“苹果是蓝的”等,都是用实际语言来组成的。而关于真实性的论述则必须用抽象语言来组成。

M:在这个例子中,不存在悖论,因为句子A是用抽象语言写出的,谈论的是句子B的真实性,而句子却是用实际语言写出的。

M:我们怎样才能谈论一种抽象语言的真实性呢?我们必须达到更高级的抽象语言。在这个无穷的阶梯中,每一级对下一级都是抽象语言,对上一级又是实际语言。

抽象语言的概念是由波兰数学家阿尔弗雷德·塔斯基提出的。在阶梯的底层是实际语言或形象语言,如“火星有两个卫星”。像真和假这种词不在这种语言中出现。为了谈论用这种语言表述的句子真和假,我们必须使用抽象语言,即比所说明的语言更高一级的语言。抽象语言包括了所有的形象语言,但它比形象语言“更丰富”,因为它可以谈论形象语言的真实性。我们引用一个塔斯基喜爱的例子:“雪是白的,”这是用形象语言说明的。而“‘雪是白的’这句话是真的”就是用抽象语言说的。

我们能否谈论一句抽象语言的真假性呢?能,不过仅当进到更高一级的抽象语言,并用更高级和更丰富的,包括了所有它以下的形象语言的语言说话时才能做到。

这个阶梯的每一级对它紧上面那一级而言都是形象语言。而每—级,除开最底下那级外,对它紧下面那级而言,又是抽象语言。这个阶梯,我们愿意向上延伸多少就可以有多少。

这个阶梯的头四级是:

A.任意一个三角形的内角和是180°

B.句子A是真的。

C.句子B是真的。

D.句子C是真的。

注意,语句A简单叙述了几何客体的定理。关于定理的证明在几何教科书中则是用抽象语言B写的。关于证明理论的书又是用语言C写的。幸好,数学家很少需用比C更高级的语言。

刘易斯·卡洛尔在一篇文章中饶有趣味地讨论了这个阶梯在理论上的无限性。题为“乌龟对阿基里斯说了些什么”,后来重印时题为“刘易斯·卡洛尔的魔术。”