第三章 关于数的悖论

这里介绍的各种数的悖论会激发学生深入数论和其他与列出的悖论有关的数学分支。

由于这些悖论看上去违反直觉和常识而使数学家们感到震惊和难堪，这一点强烈地影响了数学发展的历史。经典的事例有：首次发现无理数、虚数、复数、不遵循乘法交换律的数（四元数）、或不遵循乘法结合律的数（凯雷数），等等，直到乔治·康妥在十九世纪时揭示出一类超限数，大卫·希尔伯特把它称为超限数的“乐园”。

这里选取的悖论大部分是关于简单算术的和初等集合论的。对算术感到厌烦的学生可以受到鼓励去模仿书中例子编出一些新悖论来，他们在做这一尝试中会取得算术技巧。例如， “无所不在的9”能指导做有限计算，“奇异的遗嘱”能指导丢番方程，“惊人的编码”使学生了解无理数的性质。很多悖论是把代数解加以推广的起步点。这一章结尾处有意稍微显露一点康妥乐园中超限数知识，这个超限数乐园有很多令人兴奋的研究正在进行。