3.滑雪者的挫折

甲:真是一个滑雪的大好天气!我真希望这次爬坡滑行能超过每小时5公里(实际上只有每小时5公里)。

M:如果这个滑雪者想把他上坡下坡往返全程的平均速度提高到每小时10公里,那么他下坡必须要多快才行?

M:每小时15公里?60100?叫人有点不敢相信,只有一个办法能让他把平均速度提高到每小时10公里,就是在零秒钟内下到坡底。

你的学生最初也许以为这个悖论取决于斜坡的距离,岂知这个变量与我们的问题无关。滑雪者用某个速度滑上坡一段距离。他在下坡时想要使他往返全程的平均速度加倍。可是,要做到这一点,他就须在上坡所花的时间内滑行原来距离的两倍。很明显,这就是要他根本不用一点时间就滑到坡底。这是办不到的,所以没有任何办法能使他把平均速度从每小时5公里提高到每小时10公里。

很容易用代数方法证明这个普遍结果。令x公里为沿斜坡从坡顶到坡底之间的距离,y小时为上坡用的时间,z公里/小时为上坡的速度。因此,

x=yz

假定滑雪者在k小时内下坡,并使他往返全程的速度加倍。那么平均速度就是2z公里/小时,他在(y+k)小时内滑行2x公里。所以我们得方程:

在上面的方程中用yzx,简化得到

y=y+k

k=0

不管他上坡的距离长短,或者他上坡的速度是多快,只要他想使往返全程的平均速度加快一倍,他就必须不用时间就下到坡底。换言之,他的速度须是无穷大。