4.基诺悖论

M:古希腊人设想出了很多关于时间和运动的悖论.最著名的一个是基诺关于跑步人的诡论。

M:基诺的跑步人作如下推理。

甲:在我达到终点线之前,我必须经过中点。然后.我必须跑到3/4处,它是剩下距离的—半。

甲:而在我跑完最后的1/4这段路之前,我必须跑到这段路的中点。因为这些中点是没有止境的,我将根本不能达到终点。

M:假定跑步人每跑一半要一分钟。绘出的时间—距离关系图表明他是如何越来越接近终点,而绝不会达到终点的。他的论据对吗?

M:不对,因为跑步人不是每跑半截都用1分钟。每跑一半所花的时间都是前一段时间的一半。他只要两分钟就可以到达终点,只不过他须通过无穷多个中点而已。

M:基诺设计出一条关于阿基里斯的悖论。这个战士想要捉住一公里外的一只海龟。

M:当阿基里斯跑到海龟原来所在点时,海龟已向前爬了10米。

M:但是当阿基里斯跑到10米处时,海龟又爬到前面去了。

海龟:你别想抓住我,老朋友。只要你一到我原先所在的地方,我就已经跑到前面一截;了,那怕这个距离比头发丝还小。

M:基诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟。他不过是显浅的说明,在把时间和空间看成是由一连串的离散点组成,就像一串念珠前后相连那样时,会引起怎样令人迷惑的结果。

在这两个悖论中,我们必须把两个跑步人都等价地看作沿一条直线作匀速运动的点。基诺之道由AB运动的点确实到达了B点。他这两个悖论的设计显示出,当一个人试图把直线分为若干分离的点,这些点一个个依次往下排列,同时再把时间分成前后相随又互不重叠的间隔,并以此来说明运动时,会碰到怎样的困难。

像我们在上一组画面中那样,仅仅说明跑步人能够到达B点,是因为他每跑一个新半截所需的时间是跑前段路时间的一半,这还不能使基诺满意。他总是答道,就如在直线上总有—个新的中点要跑到一样,时间也总有新的半刻要经过。简言之,基诺用于直线上的论点也可以用到时间的序列上来。虽说时间可以越来越接近两分钟,但总还有一段无限小的时间瞬息要通过。阿基里斯和海龟的悖论也都是一样的道理。在无穷进程中的每一步,都还有一个没完没了的“下—步”要做,在空间和时间两方面都如此。

很多科学的哲学家都同意罗素对基诺悖论所作的著名讨论,这发表在他的《我们对外部世界的知识》一书的第六讲中。罗素指出,基诺悖论只有到乔治·康妥之后才能有效地解答。在十九世纪建立了他的无穷集理论。康妥证明了,一条直线段上的点数(或一个有限的时间区间内的间隔),是“不可数的”,这就是说不能把它们和计数用数一一对应,如果说基诺的跑步人总有更多的点要数,那么他是数不完的,跑步人也就到不了终点。可那些点是不可数的。学生们如果想更多地了解基诺悖论的旨趣,最好是参考韦斯勒·C·萨蒙编辑的一个平装文集:《基诺悖论集》。